TUGAS : ALJABAR BOOLEAN

Aljabar Boolean

Misalkan terdapat :

• Dua operator biner : + (OR) dan • (AND)
• Sebuah operator uner : '
• B : humpunan yang didefinisikan pada operator +, •, dan '
• 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B

Tupel (B, +, •, ') disebut Aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut :

1. Closure : (i) a + b ∈ B
                  (ii) a • b ∈ B
   
   
2. Identitas : (i) a + 0 = a
                   (ii) a • 1 = a
   
   
3. Komutatif : (i) a + b = b + a
                     (ii) a • b = b • a
   
   
4. Distributif : (i) a • (b + c) = (a • b) + (a • c)
                      (ii) a + (b • c) = (a + b) • (a + c)
   
   
5. Komplemen : (i) a + a' = 1
                        (ii) a • a' = 0

Untuk mempunyai sebuah Aljabar Boolean, harus diperlihatkan :

1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3. Memenuhi postulat Huntington.

Tugas : Aljabar Boolean

1. Apa yang dimaksud Teori De Morgan, berikan contohnya

Jawab

Teori De Morgan I

    Teori ini menyatakan bahwa komplemen dari hasil penjumlahan akan sama dengan hasil perkalian dari masing-masing komplemen. Teori ini melibatkan gerbang OR dan AND. Penulisan dalam bentuk fungsi matematisnya sebagai berikut.

(A + B)' = A' • B'

Teori De Morgan II

    Teori ini menyatakan bahwa komplemen dari hasil kali akan sama dengan hasil penjumlahan dari masing-masing komlemen. Teori ini melibatkan gerbang AND dan OR. Penulisan dalam bentuk fungsi matematisnya sebagai berikut.

(A • B)' = A' + B'

Contoh Teori De Morgan :

    Sebagai contoh, pertimbangkan himpunan bilangan real dari 0 sampai 5. Kita menulis ini dalam notasi interval [0,5]. Dalam himpunan ini kita memliki A = [1, 3] dan B = [2, 4]. Selanjutnya, setelah menerapkan operasi dasar, kita memliki:

• Komplemen AC = [0, 1) U (3, 5]
• Komplemen BC = [0, 2) U (4, 5]
• Serikat A U B = [1, 4]
• Persimpangan A ∩ B = [2, 3]

Kita mulai dengan menghitung serikat

A C U BC

Kita melihat bahwa gabungan

[0, 1) U (3, 5] dengan [0, 2) U (4, 5] adalah [0, 2) U (3, 5].

Perpotongan A ∩ B adalah

[2 , 3]

Kita melihat bahwa komplemen dari himpunan ini

[2, 3] juga [(0, 2) U (3, 5)].

Dengan cara ini kita telah menunjukkan bahwa

AC U BC = (A ∩ B)C

Sekarang kita melihat perpotongan

[0, 1) U (3, 5] dengan [0, 2) U (4, 5] adalah [0, 1) U (4, 5]

Kita juga melihat bahwa komplemen dari

[ 1, 4] juga [0, 1) U (4, 5]

Dengan cara ini kita telah menunjukkan bahwa

AC ∩ BC = ( A U B )C 

2. apa itu K-Map dan bagaimana teknik K-Map/Karnaugh Map (minimasi)

Jawab

    Karnaugh Map atau K-Map adalah suatu teknik penyederhanaan fungsi logika dengan cara pemetaan. K-Map terdiri dari kotak-kotak yang jumlahnya terdiri dari jumlah variable dan fungsi logika atau jumlah inputan dari rangkaian logika yang sedang kita hitung.

Langkah – Langkah menggunakan Kmap

1. Konversikan persamaan Boolean yang diketahui ke dalam bentuk persamaan SOP-nya (Sum of Product). Gunakan Tabel Kebenaran sebagai alat bantu.
2. Gambarlah K-map, dengan jumlah sel = 2 ^ jumlah variabel input.
3. Isi sel K-map sesuai dengan minterm pada Tabel Kebenaran.
4. Cover minterm-minterm bernilai 1 yang berdekatan, dengan aturan :
   a. hanya minterm berdekatan secara vertikal atau horizontal yang boleh di-cover.
   b. Jumlah minterm berdekatan yang boleh di-cover adalah : 2. 4, 8, 16, 32
5. Buat persamaan SOP baru sesuai dengan hasil peng-cover-an minterm.

Penyederhanaan Dua Variabel

Catatan : Bar = ‘
Tabel dari K-Map 2 variabel adalah seperti dibawah ini

Contoh Soal :

H = AB + A’B+AB’

Maka cara pengerjaanya seperti dibawah ini

Bar (‘) atau aksen biasanya ditulis kedalam angka 0 sedangkan angka 1 adalah tanpa Bar aksen.

Dan dapat dipermudah lagi menjadi dibawah ini :

Yang dapat disederhanakan dalam K-Map hanya 2 / kelipatan 2 dari kotak yang berdempetan dan sedangkan jika seperti kotak diatas maka penyderhanaannya:

Karena kolom ber angka 1 dan baris ber angka 1 memenuhi setiap garisnya, maka dapat disimpulkan kalau H = AB + A’B+AB’ K-Map nya adalah AB/BA

Penyederhanaan Tiga Variabel

Catatan : Bar = ‘
Tabel dari K-Map 3 variabel adalah seperti dibawah ini

Contoh Soal

H = ABC + A’BC+A’B’C+AB’C

Maka cara pengerjaanya seperti dibawah ini

Dan dapat dipermudah lagi menjadi dibawah ini

Sekarang kita lihat, karena yang memenuhi setiap kotaknya adalah baris 01 dan 11 sedangkan simbol 01 artinya adalah (B’C) dan 11 artinya adalah (BC) dan simbol yang tidak ada aksen nya hanya C, maka H = ABC + A’BC+A’B’C+AB’C adalah C.

Penyederhanaan 4 variabel

Catatan : Bar = ‘
Tabel dari K-Map 4 variabel adalah seperti dibawah ini :

Contoh Soal

H = ABCD + ABCD’+AB’CD+ABC’D’

Maka cara pengerjaanya seperti dibawah ini

Karena yang ada angka 1 nya ada di kolom dan baris 1100, 1111, 1110 dan 1011, yaitu AB, ABCD, ABC dan ACD maka jika kita eliminasi dengan cara mengambil huruf yang sama saja menjadi AB + ABC + ACD.